Question

已知定义在同一个区间（

3

3

，

6

2

）上的两个函数f（x）=x²-2alnx，g（x）=x³-bx²+x在x=x₀处的切线平行于x轴．
（1）求实数a和b的取值范围；
（2）试问：是否存在实数x₁，x₂，当x₁，x₀，x₂成等比数列时，等式f（x₁）+f（x₂）=2g（x₀）成立？若成立，求出实数a的取值范围；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）f′（x）=2x-

2a

x

令f′（x）=0
∵a＞0∴x=

a

∵

3

3

＜

a

＜

6

2

∴

1

3

＜a＜

3

2

g′（x）=3x²-2bx+1
令g′（x）=0得3a-2b

a

+1=0
∴b=

3a+1

2 a

=

1

2

（3

a

+

1

a

）
∵

3

3

＜t=

a

＜

6

2

∴

1

2

（3t+

1

t

）在（

3

3

，

6

2

）上单调递减则b∈（

3

，

11 6

12

）
（2）假设存在实数x₁，x₂∈（

3

3

，

6

2

）则x₁•x₂=a
由题意得x₁²+x₂²-2alnx₁-2alnx₂=-a

a

+

a

x₁²+x₂²-2x₁•x₂=2alna-a

a

+

a

-2a
令φ（a）=2alna-a

a

+

a

-2a  （

1

3

＜a＜

3

2

）
φ′（a）=2lna+

1

2 a

-

3

2

a

φ‘’（a）=

2

a

-

1

4a a

-

3

4 a

=

8 a -1-3a

4a a

＞0
∴φ′（a）在（

1

3

，

3

2

）上是增函数
∴φ′（a）＜φ′（

3

2

）=2ln

3

2

-

7 6

12

＜0
∴φ（a）在（

1

3

，

3

2

）上是减函数
∴φ（a）＜φ（

1

3

）=

2

3

ln

1

3

+

3

3

-

3

9

-

2

3

＜0
∴（x₁-x₂）²＜0
即不存在满足条件的x₁与x₂．