Question

17．已知函数f（x）=log_ax（a＞0，a≠1），当0＜x₁＜x₂时，试比较f（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$）与$\frac{1}{2}$[f（x₁）+f（x₂）]的大小．

Answer 1

分析 根据题意和对数函数的图象画出图象，根据图象即可得到答案．

解答 解：当a＞1时，画出函数f（x）=log_ax的图象：
如图：A（x₁、f（x₁）），B（x₂，f（x₂）），
连结AB取中点为D，过D做x轴的垂线交图象与点C，
则C（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$，f（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$）），
D（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$，$\frac{1}{2}$[f（x₁）+f（x₂）]），
因为函数的图象是上凸的，
所以f（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$）＞$\frac{1}{2}$[f（x₁）+f（x₂）]；
当0＜a＜1时，同上画出函数的图象，
因为函数的图象是下凸的，
所以f（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$）＜$\frac{1}{2}$[f（x₁）+f（x₂）]．

点评 本题考查对数函数的图象，以及分类讨论思想、数形结合思想，属于中档题．