Question

已知椭圆M的中心在原点，离心率为，左焦点是F₁（-2，0）．
（1）求椭圆的方程；
（2）设P是椭圆M上的一点，且点P与椭圆M的两个焦点F₁、F₂构成一个直角三角形，若PF₁＞PF₂，求的值．

Answer 1

解：（1）设椭圆的方程为（a＞b＞0），则
∵椭圆离心率为，左焦点是F₁（-2，0）．
∴，∴a=4，∴=
∴椭圆的方程为；
（2）当PF₂⊥x轴时，P的横坐标为2，其纵坐标为±3，∴=；
当PF₁⊥PF₂ 时，设PF₂=m，则PF₁=2a-m=8-m，4＞m＞0，由勾股定理可得4c²=m²+（8-m）²，即m²-8m+24=0，方程无解
综上，=．
分析：（1）设出椭圆的方程，利用椭圆离心率为，左焦点是F₁（-2，0），求出几何量，即可得到椭圆的方程；
（2）分类讨论，求出PF₁，PF₂，即可求的值．
点评：本题考查椭圆的定义和标准方程，以及椭圆的简单性质的应用，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．