Question

（本小题满分12分）
设函数
(Ⅰ) 当时，求函数的最大值；
(Ⅱ)当，，方程有唯一实数解，求正数的值．

Answer 1

(1) 的极大值为，此即为最大值；(2) 。

试题分析：(1)依题意，知的定义域为(0，＋∞)，当时，，
……………2分
令＝0，解得．(∵)
当时，，此时单调递增；当时，，此时单调递减．
所以的极大值为，此即为最大值 ……………4分
(2)因为方程有唯一实数解，所以有唯一实数解，
设，则．令，．
因为，， 所以(舍去)，，……  6分
当时，，在(0，)上单调递减，
当时，，在(，＋∞)单调递增
当时，＝0，取最小值．
则既……………10分
所以，因为，所以(*)
设函数，因为当时，是增函数，所以至多有一解．
因为，所以方程(*)的解为，即，解得………12分
(直接看出x=1时，m=1/2但未证明唯一性的给3分)
点评：典型题，本题属于导数应用中的基本问题，通过研究函数的单调性，明确了极值情况。通过研究函数的单调区间、最值情况，得出方程解的存在情况。涉及对数函数，要特别注意函数的定义域。