Question

在平面几何里，已知直角三角形ABC中，角C为90°，AC=b，BC=a，运用类比方法探求空间中三棱锥的有关结论：
有三角形的勾股定理，给出空间中三棱锥的有关结论：

在三棱锥O-ABC中，若三个侧面两两垂直，则

S

2 △OAB

+

S

2 △OAC

+

S

2 △OBC

=

S

2 △ABC

若三角形ABC的外接圆的半径为r=

a2+b2

2

，给出空间中三棱锥的有关结论：

在三棱锥O-ABC中，若三个侧面两两垂直，且三条侧棱长分别为a，b，c，则其外接球的半径为r=

a2+b2+c2

2

．

Answer 1

分析：（1）这是一个类比推理的题，斜边的平方等于两个直角边的平方和，可类比到空间就是斜面面积的平方等于三个直角面的面积的平方和，边对应着面．
（2）在由平面图形到空间图形的类比推理中，一般是由点的性质类比推理到线的性质，由线的性质类比推理到面的性质，由已知在平面几何中在△ABC中，若∠C=90°，AC=b，BC=a，则△ABC的外接圆的半径r=

a2+b2

2

，我们可以类比这一性质，推理出在空间中有三条侧棱两两垂直的四面体O-ABC中类似的结论．

解答：解：（1）由边对应着面，边长对应着面积，
由类比可得：在三棱锥O-ABC中，若三个侧面两两垂直，则

S

2 △OAB

+

S

2 △OAC

+

S

2 △OBC

=

S

2 △ABC

（2）由平面图形的性质类比推理空间图形的性质时，
一般是由点的性质类比推理到线的性质，由线的性质类比推理到面的性质，由圆的性质推理到球的性质．
由已知在平面几何中，△ABC中，若∠C=90°，AC=b，BC=a，则△ABC的外接圆的半径r=

a2+b2

2

，
我们可以类比这一性质，推理出：在三棱锥O-ABC中，若三个侧面两两垂直，且三条侧棱长分别为a，b，c，则其外接球的半径为r=

a2+b2+c2

2

，
故答案为：在三棱锥O-ABC中，若三个侧面两两垂直，则

S

2 △OAB

+

S

2 △OAC

+

S

2 △OBC

=

S

2 △ABC

；
在三棱锥O-ABC中，若三个侧面两两垂直，且三条侧棱长分别为a，b，c，则其外接球的半径为r=

a2+b2+c2

2

．

点评：本题主要考查学生知识的迁移类比等基本能力，类比推理的一般步骤是：（1）找出两类事物之间的相似性或一致性；（2）用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（猜想）．