Question

（本小题满分13分）

        已知某几何体的三视图如图所示，其中分别是该几何体的一个顶点P在三个投影面上的投影，分别是另四个顶点A，B，C，D的投影。

   （I）从①②两个图中选择出该几何体的直观图；

   （II）求直线PA与平面PBC所成角的正弦值；

   （III）设平面PAD与平面ABC的交线为，求二面角A——B的大小。

Answer 1

解:(Ⅰ)图①为该几何体的直观图; ………3分

(Ⅱ)依题意,平面PBC⊥平面ABC,

平面PBC∩平面ABC=BC,取BC中点O,连接PO,

则PO⊥BC,PO⊥平面ABCD.取AD中点M,

则OM⊥BC.如图建立空间直角坐标系O-xyz.

P(0,0,2),A(2,1,0),,

又平面PBC的一个法向量为,

∴直线PA与平面PBC所成角的正弦值为.………9分

(Ⅲ)法1:∵D(2,－1,0),,

设为平面PAD的一个法向量,则,取

∴二面角A-l-B的大小为45°. ………13分

法2:平面PBC∩平面PAD=l,BC//ADBC//平面PADBC//l,OP⊥l,MP⊥l

∠MPO就是二面角A-l-B的平面角,.

∴二面角A-l-B的大小为45°. ………13分