Question

（2013•贵阳二模）已知点P是双曲线C：

x2

3

-

y2

6

=1上一点，过P作C的两条逐渐近线的垂线，垂足分别为A，B两点，则

PA

•

PB

等于（　　）

• A．

  2

  3

• B．-

  2

  3

• C．0
• D．1

Answer 1

分析：确定两条渐近线方程，设双曲线C上的点P（x₀，y₀），求出点P到两条渐近线的距离，利用P（x₀，y₀）在双曲线C上，及向量的数量积公式，即可求得结论．

解答：解：由条件可知：两条渐近线分别为l₁：

2

x-y=0，l₂：

2

x+y=0
设双曲线C上的点P（x₀，y₀），则点P到两条渐近线的距离分别为|

PA

|=

| 2 x0-y0|

3

，
|

PB

|=

| 2 x0+y0|

3

，所以|

PA

||

PB

|=

| 2 x0-y0|

3

×

| 2 x0+y0|

3

=|

2 x 2 0 - y 2 0

3

|
因为P（x₀，y₀）在双曲线C上，所以

x 2 0

3

-

y 2 0

6

=1，即2x

2 0

-y

2 0

=6
故|

PA

||

PB

|=2
设

PA

与

PB

的夹角为θ，得cosθ=

1

3

，
则

PA

•

PB

=

2

3

．
故选A．

点评：本题考查双曲线的标准方程，考查直线与双曲线的位置关系，考查向量知识，考查学生的计算能力，属于中档题．