Question

已知a＞1，f（log_ax）=

a

a2-1

(x-

1

x

)．
（1）求f（x）的解析式；
（2）证明f（x）为R上的增函数；
（3）若当x∈（-1，1）时，有f（1-m）+f（1-m²）＜0，求m的集合M．

Answer 1

（1）令t=log_ax（t∈R），
则x=a^t，f（t）=

a

a2-1

(at-

1

at

)，
∴f（x）=

a

a2-1

(ax-

1

ax

)（x∈R）．
（2）当a＞1时，指数函数y=a^x是增函数，y=

1

ax

是减函数，y=-

1

ax

是增函数．
∴y=ax-

1

ax

为增函数，
又∵

a

a2-1

＞0，
∴f（x）=

a

a2-1

(ax-

1

ax

)是R上的增函数．
当0＜a＜1时，指数函数y=a^x是减函数，y=

1

ax

是增函数，y=-

1

ax

是减函数．
∴y=ax-

1

ax

为减函数．
又∵

a

a2-1

＜0，
∴f（x）=

a

a2-1

(ax-

1

ax

)是R上的增函数．
综上可知，在a＞1或0＜a＜1时，y=f（x）为R上的增函数．
（3）∵f（-x）=

a

a2-1

(a-x-

1

a-x

)=-

a

a2-1

(ax-

1

ax

)=-f（x），且x∈R，
∴f（x）为奇函数．
∵f（1-m）+f（1-）＜0，
∴f（1-m）＜-f（1-m²），
∴f（1-m）＜f（m²-1），
由（2）可知y=f（x）为R上的增函数，
∴-1＜1-m＜m²-1＜1，
解之得：1＜m＜

2

．