Question

已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，一条经过点(3，-)且方向向量为a=(-2，)的直线L交椭圆C于A、B两点，交x轴于M点，又，
(1)求直线L的方程；
(2)求椭圆C长轴长取值的范围．

Answer 1

解：(1)直线L过点(3，-)且方向向量a=(-2，)，
∴L的方程为：，即；
(2)设直线和椭圆交于两点A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)和x轴交点M(1，0)，
由，知y₁=-2y₂，
将代入b²x²+a²y²=a²b²中得，
由韦达定理，
∵有两交点，
∴Δ=，
化简得：5a²+4b²＞5，　③
由①②消去y²得：32b²=(4b²+5a²)(a²-1)，
即4b²=，④
将④代入③得：5a²+＞5，　⑤
可求得1＜a²＜9，
又椭圆的焦点在x轴上，则a²＞b²，
∴4b²=＜4a²，
综合解得：1＜a²＜，可求得：1＜a＜，
∴所求椭圆长轴长2a的范围是。