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    已知圆C经（x-1）2+（y-2）2=5经过椭圆E：
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1（a＞b＞0）的右焦点F和上顶点B．
    （1）求椭圆E的方程；
    （2）过原点O的射线l在第一象限与椭圆E的交点为Q，与圆C的交点为P，M为OP的中点，求
    OM
    •
    OQ
    的最大值．
    考点：直线与圆锥曲线的关系,椭圆的标准方程
    专题：计算题,直线与圆,圆锥曲线的定义、性质与方程
    分析：（1）在圆（x-1）2+（y-2）2=5中，令y=0，得F（2，0），令x=0，得B（0，4），由此能求出椭圆方程；
    （2）设点Q（x0，y0），x0＞0，y0＞0，由于M为OP的中点，则CM⊥OQ，则
    OM
    •
    OQ
    =（
    OC
    +
    CM
    ）•
    OQ
    =
    OC
    •
    OQ
    =（1，2）•（x0，y0）=x0+2y0，设t=x0+2y0，与
    x02
    20
    +
    y02
    16
    =1联立，消去x0，再由判别式为0，即可得到最大值．
    解答： 解：（1）在圆C：（x-1）2+（y-2）2=5中，
    令y=0，得F（2，0），即c=2，
    令x=0，得B（0，4），即b=4，
    ∴a2=b2+c2=20，
    ∴椭圆E的方程为：
    x2
    20
    +
    y2
    16
    =1．
    （2）设点Q（x0，y0），x0＞0，y0＞0，
    由于M为OP的中点，则CM⊥OQ，
    则
    OM
    •
    OQ
    =（
    OC
    +
    CM
    ）•
    OQ
    =
    OC
    •
    OQ

    =（1，2）•（x0，y0）
    =x0+2y0，
    又
    x02
    20
    +
    y02
    16
    =1，
    设t=x0+2y0，与
    x02
    20
    +
    y02
    16
    =1联立，得：21y02-16ty0+4t2-80=0，
    令△=0，得256t2-84（4t2-80）=0，
    解得t=±2
    		21
    ．
    又点Q（x0，y0）在第一象限，
    ∴当y0=
    16
    		21
    21
    时，
    OM
    •
    OQ
    取最大值2
    		21
    ．
    点评：本题考查直线、圆、椭圆、平面向量等基础知识，考查直线与圆锥曲线的位置关系，考查运算求解能力、推理论证能力，考查数形结合、化归转化及函数与方程等数学思想．
    练习册系列答案
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    相关习题

    科目：高中数学 来源： 题型：

    某沿海地区在保护环境与发展经济方面制定了一个长期规划蓝图，其中有一个退耕还林与盐碱地改造工程．已知需要退耕还林的总面积为640km2，每年退耕还林的面积相等；盐碱地改造工程计划用10年时间完成，第一年内改造面积20km2，前4年每年以100%的增长率改造，然后从第5年开始，每年度比上一年减少20km2．
    （1）若是10年后该地区未退耕还林的面积与改造过的盐碱地的面积之和正好比目前需要退耕还林的面积翻一番，则每年退耕还林的面积是多少？
    （2）设第n年（1≤n≤10且n∈N）盐碱地改造的总面积为Sn，求Sn的值．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    设
    a
    ，
    b
    是非零向量，则下列不等式恒成立的是
     
    （写出所有正确结论的序号）
    ①|
    a
    -
    b
    |≤|
    a
    +
    b
    |
    ②|
    a
    |-|
    b
    |≤|
    a
    +
    b
    |
    ③|
    a
    |-|
    b
    |≤|
    a
    -
    b
    |
    ④|
    a
    +
    b
    |≤|
    a
    |+|
    b
    |
    ⑤
    a
    •
    b
    ≤|
    a
    +
    b
    |

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    设函数f（x）是定义在R上的偶函数，且对任意的x∈R恒有f（x+1）=f（1-x），已知当x∈[0，1]时，f(x)=(
    1
    2
    )1-x    ，则：
    ①f（x+2）=f（x）；
    ②函数f（x）在（1，2）上递减，在（2，3）上递增；
    ③函数f（x）的最大值是1，最小值是0；
    ④当x∈（3，4）时，f(x)=(
    1
    2
    )x-3    ．
    其中正确结论的个数是（　　）
    A、1B、2C、3D、4

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其名命名的函数f（x）=
    1，x∈Q
    0，x∈∁RQ
    被称为狄利克雷函数，其中R为实数集，Q为有理数集，则关于函数有如下四个命题：
    ①f（f（x））=0；
    ②函数f（x）是偶函数；
    ③任取一个不为零的有理数T，f（x+T）=f（x）对任意的x∈R恒成立；
    ④存在三个点A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2）），C（x3，f（x3）），使得△ABC为等边三角形．
    其中的真命题是（　　）
    A、①②④B、②③
    C、③④D、②③④

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    若函数f（x）为定义在R上的奇函数，且在（0，+∞）内是增函数，又f（2）=0，则不等式xf（x）＜0的解集为
     
    ．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    设定义域为R的函数f（x）满足f（x+1）=
    1
    2
    +
    		f(x)-[f(x)]2
    ，且f（-1）=
    1
    2
    ，则f（2014）的值为（　　）
    A、-1
    B、1
    C、2014
    D、
    1
    2

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知f（x）=f（x-1）+f（x+1）且f（0）=0，则f（2010）=
     
    ．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    下列运用基本不等式求最值，使用正确的个数是（　　）
    ①已知ab≠0，求
    a
    b
    +
    b
    a
    的最小值；解答过程：
    a
    b
    +
    b
    a
    ≥2
    a
    b
    •
    b
    a
    =2．
    ②求函数y=
    x2+5
    		x2+4
    的最小值；解答过程：可化得y=
    		x2+4
    +
    1
    		x2+4
    ≥2
    ③设x＞1，求y=x+
    2
    x-1
    的最小值；解答过程：y=x+
    2
    x-1
    ≥2
    2x
    x-1
    ，当且仅当x=
    2
    x-1
    即x=2时等号成立，把x=2代入2
    2x
    x-1
    得最小值为4．
    A、0个B、1个C、2个D、3个

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