Question

（2013•聊城一模）如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，∠ACB=90°，平面PAD⊥平面ABCD，PA=BC=1，PD=AB=

2

，E、F分别为线段PD和BC的中点
（I）求证：CE∥平面PAF；
（Ⅱ）求三棱锥P-AEF的体积．

Answer 1

分析：（I）取PA中点H，连接CE，HE，FH，证明四边形FCEH是平行四边形，可得EC∥HF，利用线面平行的判定定理，可得结论；
（II）证明PA⊥平面ABCD，利用三棱锥P-AEF的体积

1

2

V_P-AFD，可得结论．

解答：（I）证明：取PA中点H，连接CE，HE，FH
∵H，E分别为PA，PD的中点，
∴HE∥AD，HE=

1

2

AD
∵ABCD是平行四边形，F为BC的中点，
∴FC∥AD，FC=

1

2

AD
∴HE=FC，HE∥FC
∴四边形FCEH是平行四边形
∴EC∥HF
∵EC?平面PAF，HF?平面PAF
∴CE∥平面PAF；
（II）解：∵底面ABCD是平行四边形，∠ACB=90°，
∴CA⊥AD
∵PA=BC=1，AB=

2

∴AC=1
∴S_△AFD=

1

2

•1•1=

1

2

∵PA=AD=1，PD=

2

∴PA⊥AD
∴PA⊥平面ABCD，
∴V_P-AFD=

1

3

•

1

2

•1=

1

6

∵E是PD的中点，
∴三棱锥P-AEF的体积

1

2

V_P-AFD=

1

12

．

点评：本题考查线面平行的判定定理，考查三棱锥体积的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．