Question

数列{a_n}的首项a₁=1，前n项和为S_n，满足关系3tS_n-（2t+3）S_n-1=3t（t＞0，n=2，3，4…）
（1）求证：数列{a_n}为等比数列；
（2）设数列{a_n}的公比为f（t），作数列{b_n}，使b₁=1，b_n=f（

1

bn-1

），（n=2，3，4…），求b_n
（3）求T_n=（b₁b₂-b₂b₃）+（b₃b₄-b₄b₅）+…+（b_2n-1b_2n-b_2nb_2n+1）的值．

Answer 1

（1）证：∵3tS_n-（2t+3）S_n-1=3t，3tS_n+1-（2t+3）S_n=3t（n≥2），两式相减得3ta_n+1-（2t+3）a_n=0
又t＞0
∴

an+1

an

=

2t+3

3t

（n≥2），
又当n=2时，3tS₂-（2t+3）S₁=3t，
即3t（a₁+a₂）-（2t+3）a₁=3t，得a2=

2t+3

3t

，
即

a2

a1

=

2t+3

3t

，
∴

an+1

an

=

2t+3

3t

（n≥1），
∴{a_n}为等比数列
（2）由已知得，f（t）=

2t+3

3t

∴b_n=f（

1

bn-1

）=

3+ 2 bn-1

3 bn-1

=

2

3

+b_n-1（n≥2，n∈N^*）．
∴{b_n}是一个首项为1，公差为

2

3

的等差数列．
于是b_n=

2

3

n+

1

3

（3）T_n=b₁b₂-b₂b₃+b₃b₄-…+b_2n-1b_2n-b_2nb_2n+1?
=b₂（b₁-b₃）+b₄（b₃-b₅）+…+b_2n（b_2n-1-b_2n+1）=-2（b₂+b₄+…+b_2n）
=-2d（b₂+b₄+…+b_2n）
=-2×

2

3

[

5n

3

+

n(n-1)

2

×

4

3

]
=-

8n2

9

-

4n

3