Question

已知位于y轴右侧的圆C与y相切于点P（0，1），与x轴相交于点A、B，且被x轴分成的两段弧之比为1﹕2（如图所示）．
（I）求圆C的方程；
（II）若经过点（1，0）的直线l与圆C相交于点E、F，且以线段EF为直径的圆恰好过圆心C，求直线l的方程．

Answer 1

解：（I）因为圆C位于y轴右侧，且与y相切于点P（0，1），所以圆心C在直线y=1上．
又圆C被x轴分成的两段弧之比为1﹕2，所以．…．（3分）
所以PC=AC=BC=2，圆心C的坐标为（2，1）．
所以所求圆C的方程为（x-2）²+（y-1）²=4．…（6分）
（II）①若直线l斜率存在，设直线l的方程为y=k（x-1）（k≠0），即kx-y-k=0．
因为线段EF为直径的圆恰好过圆心C，所以EC⊥FC．
因此．…（8分）
∵圆心C（2，1）到直线l的距离．
∴由得k=-1．
故所求直线l的方程为y=-（x-1），即x+y-1=0．…（11分）
②若直线l斜率不存在，此时直线l的方程为x=1，点E、F的坐标分别为、，不满足条件．…..（13分）
故所求直线的方程为x+y-1=0．…（14分）
分析：（I）根据圆C被x轴分成的两段圆弧长之比为1：2得到∠ACB的度数，根据直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半，得到半径AC和CB的长，进而得到圆心C的坐标，根据圆心坐标和圆的半径写出圆C的方程即可；
（II）①若直线l斜率存在，设直线l的方程为y=k（x-1）（k≠0），即kx-y-k=0．根据线段EF为直径的圆恰好过圆心C，所以EC⊥FC．再利用可求得k，从而可求直线l的方程；②若直线l斜率不存在，不满足条件．
点评：本题考查直线与圆的位置关系，考查直线方程、圆的求解，同时考查分类讨论数学思想，解题的关键是利用好圆的性质．