Question

已知椭圆G与双曲线12x²-4y²=3有相同的焦点，且过点P(1，

3

2

)．
（1）求椭圆G的方程；
（2）设F₁、F₂是椭圆G的左焦点和右焦点，过F₂的直线l：x=my+1与椭圆G相交于A、B两点，请问△ABF₁的内切圆M的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值及直线l的方程，若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）由题意可求椭圆的焦点坐标为F₁（-1，0），F₂（1，0），2a=|PF₁|+|PF₂|=4，从而可求a，c，结合以b²=a²-c²可求b，进而可求椭圆G的方程
（2）设△ABF₁内切圆M的半径为r，与直线l的切点为C，则三角形S△ABF1=S△ABM+S△AMF1+S△BMF1即S△ABF1=

1

2

(|AB|+|AF1|+|BF1|)r=

1

2

[(|AF1|+|AF2|)+(|BF1|+|BF2|)]r=2ar=4r，当S△ABF1最大时，r也最大，△ABF₁内切圆的面积也最大，而S△ABF1=

1

2

|F1F2|•|y1|+

1

2

|F1F2|•|y2|=y1-y2，利用方程的根与系数的关系结合函数的性质可求

解答：解：（1）双曲线12x²-4y²=3的焦点坐标为（±1，0），所以椭圆的焦点坐标为F₁（-1，0），F₂（1，0）…（1分）
设椭圆的长轴长为2a，则2a=|PF₁|+|PF₂|=4，即a=2，
又c=1，所以b²=a²-c²=3∴椭圆G的方程

x2

4

+

y2

3

=1…（5分）
（2）如图，设△ABF₁内切圆M的半径为r，与直线l的切点为C，
则S△ABF1=S△ABM+S△AMF1+S△BMF1
即S△ABF1=

1

2

(|AB|+|AF1|+|BF1|)r=

1

2

[(|AF1|+|AF2|)+(|BF1|+|BF2|)]r=2ar=4r
当S△ABF1最大时，r也最大，△ABF₁内切圆的面积也最大，…（7分）
设A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）（y₁＞0，y₂＜0），则S△ABF1=

1

2

|F1F2|•|y1|+

1

2

|F1F2|•|y2|=y1-y2，
由

x=my+1 x2 4 + y2 3 =1

，得（3m²+4）y²+6my-9=0，…（9分）
解得y1=

-3m+6 m2+1

3m2+4

，y2=

-3m-6 m2+1

3m2+4

，
∴S△ABF1=

12 m2+1

3m2+4

，令t=

m2+1

，则t≥1，且m²=t²-1，
有S△ABF1=

12t

3(t2-1)+4

=

12t

3t2+1

=

12

3t+ 1 t

，令f(t)=3t+

1

t

，则f′(t)=3-

1

t2

，…（11分）
当t≥1时，f'（t）＞0，f（t）在[1，+∞）上单调递增，有f（t）≥f（1）=4，S△ABF1≤

12

4

=3，
即当t=1，m=0时，4r有最大值3，得rmax=

3

4

，这时所求内切圆的面积为

9

16

π，…（12分）
∴存在直线l：x=1，△ABF₁的内切圆M的面积最大值为

9

16

π．…（13分）

点评：本题主要考查了由椭圆的性质及定义求解椭圆的方程，直线与椭圆位置关系的应用，难点是计算量较大，是解题中要求考试具备一定的逻辑推理与运算的能力