Question

已知定义在R上的单调函数f（x），存在实数x₀，使得对于任意实数x₁，x₂，总有f（x₀x₁+x₀x₂）=f（x₀）+f（x₁）+f（x₂）恒成立．
（Ⅰ）求x₀的值；（Ⅱ）若f（x₀）=1，且对任意n∈N^*，有a_n=f（）+1，求{a_n}的通项公式；
（Ⅲ）若数列{b_n}满足b_n=2loa_n+1，将数列{b_n}的项重新组合成新数列{c_n}，具体法则如下：c₁=b₁，c₂=b₂+b₃，c₃=b₄+b₅+b₆，…，求证：+++…+＜．

Answer 1

解：（Ⅰ）令x₁=x₂=0，得f（x₀）=-f（0），①
令x₁=1，x₂=0，得f（x₀）=f（x₀）+f（1）+f（0），∴f（1）=-f（0）②
由①、②得f（x₀）=f（1），又因为f（x）为单调函数，∴x₀=1…（2分）
（Ⅱ）由（1）得f（x₁+x₂）=f（x₁）+f（x₂）+1，，∴，a₁=1
，…（3分）…（4分）∴，…（5分）
（Ⅲ）b_n=2loa_n+1=2n+1…（6分）
由{C_n}的构成法则可知，C_n应等于{b_n}中的n项之和，其第一项的项数为
[1+2+…+（n-1）]+1=+1，即这一项为2×[+1]-1=n（n-1）+1
C_n=n（n-1）+1+n（n-1）+3+…+n（n-1）+2n-1=n²（n-1）+=n³ …（8分）
1
当n≥3时，…（10分）
∴：+++…+＜
…（12分）
分析：（Ⅰ）分别令x₁=x₂=0，x₁=1，x₂=0，f（x₀）=f（1），又因为f（x）为单调函数，从而可求x₀的值；
（Ⅱ）由（1）得f（x₁+x₂）=f（x₁）+f（x₂）+1，进而可有，从而有，故可求；
（Ⅲ）先求得b_n=2n+1，由{C_n}的构成法则求得C_n=n³ 借助于当n≥3时，可进行放缩，从而得证．
点评：本题考查来哦赋值法，同时考查放缩法证明不等式，有一定的综合性．