Question

如图，有两条相交成60°角的直路EF、MN，交点是O.起初，阿福在OE上距O点3千米的点A处；阿田在OM上距O点1千米的点B处.现在他们同时以4千米/时的速度行走，阿福沿EF的方向，阿田沿NM的方向.

(1)求起初两人的距离；

(2)用包含t的式子表示t小时后两人的距离；

(3)什么时候他们两人的距离最短？

Answer 1

解：(1)∵AB²=OA²+OB²-2OA·OBcos60°=7,

    ∴起初他们两人的距离是7千米.

    (2)设他们t小时后的位置分别是P、Q，则AP=4t,BQ=4t.

    下面分两种情况讨论:

    当0≤t≤时，PQ²=(3-4t)²+(1+4t)²-2(3-4t)(1+4t)cos60°.                 ①

    当t＞时，PQ²=(3-4t)²+(1+4t)²-2(4t-3)(1+4t)cos120°.                    ②

    由①②综合得PQ²=48t²-24t+7,即PQ=.

    (3)∵PQ²=48t²-24t+7=48(t-)²+4,

    ∴当t=时，即在第15分钟时他们两人的距离最短.