精英家教网 > 高中数学 > 题目详情
过抛物线焦点F的直线交抛物线于A、B两点,通过点B平行于抛物线对称轴的直线交抛物线的准线于点D,求证:三点A、O、D共线.
分析:建系写方程,写出点A、B、D的坐标,可利用斜率相等,或用向量法证明三点共线.
解答:解:以抛物线的对称轴为x轴,它的顶点为原点,建立直角坐标系,
则可设抛物线的方程为y2=2px(p>0),
当直线AB的斜率存在时,设AB的斜率为k(k≠0),
由题意直线AB的方程为y=k(x-
p
2
)

y=k(x-
p
2
)
代入抛物线的方程得y2-
2p
k
y-p2=0

设点A(x1,y1),B(x2,y2),则y2=-
p2
y1
(y1≠0)
D(-
p
2
,-
p2
y1
)

故可得kOA=
y1
x1
=
y1
y12
2p
=
2p
y1
,而kOD=
-
p2
y1
-
p
2
=
2p
y1
=kOA,故三点A、O、D共线,
当直线无斜率时,A(
p
2
,p),B(
p
2
,-p),故D(-
p
2
,-p)

同样可得kOA=
p
p
2
=2,而kOD=
-p
-
p
2
=2=kOA,仍有三点A、O、D共线,
综上可得三点A、O、D共线.
点评:本题考查三点共线的证明,涉及分类讨论的思想,属基础题.
练习册系列答案
相关习题

科目:高中数学 来源: 题型:

6、过抛物线焦点F的直线与抛物线交于A、B两点,若A、B在抛物线的准线上的射影为A1、B1,则∠A1FB1=(  )

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

过抛物线焦点F的直线与抛物线交于A、B两点,若A、B在抛物线准线上的射影分别为A1、B1,则∠A1FB1=
90°
90°

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

精英家教网已知抛物线C1:y2=4x,圆C2:(x-1)2+y2=1,过抛物线焦点F的直线l交C1于A,D两点(点A在x轴上方),直线l交C2于B,C两点(点B在x轴上方).
(Ⅰ)求|AB|•|CD|的值;
(Ⅱ)设直线OA、OB、OC、OD的斜率分别为m、n、p、q,且满足m+n+p+q=3
2
,并且|AB|,|BC|,|CD|成等差数列,求出所有满足条件的直线l的方程.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

已知顶点在原点、对称轴为坐标轴且开口向右的抛物线过点M(4,-4).
(1)求抛物线的方程;
(2)过抛物线焦点F的直线l与抛物线交于不同的两点A、B,若|AB|=8,求直线l的方程.

查看答案和解析>>

同步练习册答案