Question

15．如图是一个缆车示意图，该缆车的半径为4.8m，圆上最低点与地面的距离为0.8m，缆车每60s转动一圈，图中OA与地面垂直，以OA为始边，逆时针转动θ角到OB，设B点与地面的距离为hm．
（1）求h与θ之间的函数解析式；
（2）设从OA开始转动，经过ts达到OB，求h与之间的函数解析式，并计算经过45s后缆车距离地面的高度．

Answer 1

分析 （1）以圆心O为原点，以水平方向为x轴方向，以竖直方向为y轴方向建立平面直角坐标系，则根据缆车半径为4.8m，圆上最低点与地面距离为0.8m，60秒转动一圈，即可得到h与θ间的函数关系式；
（2）由60秒转动一圈，我们易得点A在圆上转动的角速度是$\frac{π}{30}$，故t秒转过的弧度数为$\frac{π}{30}$t，根据（1）的结论，我们将$\frac{π}{30}$t代入解析式，即可得到满足条件的t值．

解答 解：（1）以圆心O为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，
则以Ox为始边，OB为终边的角为θ-$\frac{π}{2}$，
故点B的坐标为（4.8cos（θ-$\frac{π}{2}$），4.8sin（θ-$\frac{π}{2}$）），
∴h=5.6+4.8sin（θ-$\frac{π}{2}$）=5.6-4.8cosθ．
（2）点A在圆上转动的角速度是$\frac{π}{30}$，故t秒转过的弧度数为$\frac{π}{30}$t，
∴h=5.6-4.8cos$\frac{π}{30}$t，t∈[0，+∞）．
当t=45s．h=5.6．

点评 本题考查的知识点是在实际问题中建立三角函数模型，在建立函数模型的过程中，以圆心O为原点，以水平方向为x轴方向，以竖直方向为Y轴方向建立平面直角坐标系，是解决本题的关键．综合性较强．