Question

数列{a_n}与{b_n}的前n项和分别是A_n和B_n，且b_n=n•a_n，2An=Bn+

n

2n+1

 (n∈N)．
（1）求证：数列{a_n}是从第三项起的等比数列；
（2）当数列{a_n}是从第一项起的等比数列时，用n的式子表示B_n；
（3）在（2）的条件下，对于给定的自然数k，当n＞k时，

lim

n→∞

(n-k)an-k

Bn+k-1

=M，且M∈（-1000，-100），试求k的值．

Answer 1

分析：（1）根据n≥3时，由a_n=A_n-A_n-1，na_n=B_n-B_n-1，可得an=(

1

2

)n+1，即{a_n}从第三项起成等比．
（2）若{a_n}从第一项起成等比，那么由a1=

1

4

，q=

1

2

，求得 A_n和B_n．
（3）根据

(n-k)an-k

Bn+k-1

=

(n-k)•22k

-(n+k+2)

 及

lim

n→∞

(n-k)an-k

Bn+k-1

=M，可得 M=-2^2k，再由2^2k∈（100，1000），求出k．

解答：解：（1）证明：a1=

1

4

，当n≥3时，根据a_n=A_n-A_n-1，na_n=B_n-B_n-1，可得an=(

1

2

)n+1，即{a_n}从第三项起成等比．
（2）若{a_n}从第一项起成等比，那么由a1=

1

4

，q=

1

2

，得a2=

1

8

，an=

1

4

(

1

2

)n-1，An=

1

2

-

1

2n+1

，
故 Bn=1-

n+2

2n+1

．
（3）∵

(n-k)an-k

Bn+k-1

=

(n-k)•22k

-(n+k+2)

，又∵

lim

n→∞

(n-k)an-k

Bn+k-1

=M，∴M=-2^2k，
由已知M∈（-1000，-100），∴2^2k∈（100，1000），∴2k=7，8，9，∵k∈N，故k=4为所求．

点评：本题主要考查等比数列的定义和性质，等比数列的通项公式，求数列极限的方法，求出M=-2^2k，是解题的难点．