Question

（09年宣武区二模文）（13分）

如图，在棱长为1的正方体ABCD―A₁B₁C₁D₁中，点E是棱BC的中点，点F是棱CD的中点。

   （1）求证：D₁E⊥平面AB₁F；

   （2）求二面角C₁―EF―A的余弦值。

Answer 1

解析：解法1：（1）连结A₁B，则D₁E在侧面ABB₁A₁上的射影是A₁B，

又∵A₁B⊥AB₁，

∴D₁E⊥AB₁，

连结DE，

∵D₁E在底面ABCD上的射影是DE，E、F均为中点，

∴DE⊥AF，

∴D₁E⊥AF

∵AB₁∩AF=A

∴D₁E⊥平面AB₁F   …………………6分

   （2）∵C₁C⊥平面EFA，连结AC交EF于H，

则AH⊥EF，

连结C₁H，则C₁H在底面ABCD上的射影是CH，

∴C₁H⊥EF，

∴∠C₁HA为二在角C₁―EF―A的平面角，它是∠C₁HC的邻补角。

解法2：（1）以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系。

   （2）由已知得为平面EFA的一个法向量，

∵二面角C₁―EF―A的平面角为钝角，

∴二面角C₁―EF―A的余弦值为   ………………13分