Question

定义在D={x∈R|x≠0}上的函数f（x）满足两个条件：①对于任意x、y∈D，都有f（x）f（y）-f（xy）=；②曲线y=f（x）存在与直线x+y+1=0平行的切线．
（Ⅰ）求过点（-1，）的曲线y=f（x）的切线的一般式方程；
（Ⅱ）当x∈（0，+∞），n∈N⁺时，求证：f_n（x）-f（xⁿ）≥2ⁿ-2．

Answer 1

解：（Ⅰ）令x=y=1得，f²（1）-f（1）=2，解得f（1）=-1或f（1）=2．
当f（1）=-1时，令y=1得，f（x）=-，即f（x）=-（x+），
f′（x）=-（1-），
由f′（x）=-1得，x²=-1，此方程在D上无解，这说明曲线y=f（x）不存在与直线x+y+1=0平行的切线，不合题意，
则f（1）=2，此时，令y=1得，f（x）==x+，f′（x）=1-，
由f′（x）=-1得，x²=，此方程在D上有解，符合题意．
设过点（-1，）的切线切曲线y=f（x）于（x₀，x₀+），则切线的斜率为1-，
其方程为y-x₀-=（1-）（x-x₀），把点（-1，）的坐标代入整理得，
5-8x₀-4=0，解得x₀=-或x₀=2，
把x₀=-或x₀=2分别代入上述方程得所求的切线方程是：y=-x-5和y=x+1，
即21x+4y+20=0和3x-4y+4=0．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）=x+，当n∈N^*时，
fⁿ（x）-f（xⁿ）=-（xⁿ+）
=x^n-1•+x^n-2•+…+x²•+x•
=x^n-2+x^n-4+…++，
由x∈（0，+∞），n∈N^*知，xⁿ∈（0，+∞），那么
2（fⁿ（x）-f（xⁿ））=x^n-2+x^n-4+…++
+++…+x^n-4+x^n-2
=x^n-2+x^n-4+…++
+++…+x^n-4+x^n-2
=（x^n-2+）+（x^n-4+）+…+（x^n-2+）
≥2+2+…+2）
=2（++…+）
=2[（+++…++）--）]
=2（2ⁿ-2）
所以fⁿ（x）-f（xⁿ）≥2ⁿ-2．
分析：（Ⅰ）令x=y=1，可求得f（1）=2，从而可求得f（x）=x+，设过点（-1，）的切线切曲线y=f（x）于（x₀，x₀+），则切线的斜率为1-，于是可求得切线方程，将点（-1，）的坐标代入方程即可求得x₀，从而可得过点（-1，）的曲线y=f（x）的切线的一般式方程；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）=x+，当n∈N^*时，fⁿ（x）-f（xⁿ）=-（xⁿ+），利用二项式定理将展开，采用倒序相加法可求得2（fⁿ（x）-f（xⁿ）），再利用基本不等式即可证得结论．
点评：本题考查利用导数研究曲线上某点切线方程，考查不等式的证明，突出二项式定理及倒序相加法与基本不等式的综合运用，属于难题．