Question

6．已知函数$f（x）={log_{\frac{1}{2}}}\frac{1+x}{x-1}$．
（I）若a＞b＞1，试比较f（a）与f（b）的大小；
（Ⅱ）若函数g（x）=f（x）-（$\frac{1}{2}$）^x+m，且g（x）在区间[3，4]上没有零点，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）先确定函数的定义域，再判断函数的单调性，最后根据单调性比较函数值的大小；
（2）先确定函数g（x）的单调性，再结合图象，将问题等价为g（x）_min＞0或g（x）_max＜0，最后解不等式．

解答 解：（1）函数$f（x）={log_{\frac{1}{2}}}\frac{1+x}{x-1}$的定义域为（-∞，-1）∪（1，+∞），
再判断函数的单调性，∵f（x）=$lo{g}_{\frac{1}{2}}$$\frac{x+1}{x-1}$=$lo{g}_{\frac{1}{2}}$[1+$\frac{2}{x-1}$]，
因为函数u（x）=$\frac{2}{x-1}$在区间（-∞，-1）和（1，+∞）都是减函数，
所以，f（x）在区间（-∞，-1）和（1，+∞）都是增函数，
∵a＞b＞1，根据f（x）在（1，+∞）上是增函数得，
∴f（a）＞f（b）；
（2）由（1）知，f（x）在区间（1，+∞）上单调递增，
所以，函数g（x）=f（x）-$（\frac{1}{2}）^{x}$+m在[3，4]单调递增，
∵g（x）在区间[3，4]上没有零点，
∴g（x）_min＞0或g（x）_max＜0，
而g（x）_min=g（3）=-$\frac{9}{8}$+m＞0，解得m＞$\frac{9}{8}$，
g（x）_max=g（4）=$lo{g}_{\frac{1}{2}}\frac{5}{3}$-$\frac{1}{16}$+m＜0，解得m＜$\frac{1}{16}$-$lo{g}_{\frac{1}{2}}\frac{5}{3}$，
因此，实数m的取值范围为（-∞，$\frac{1}{16}$-$lo{g}_{\frac{1}{2}}\frac{5}{3}$）∪（$\frac{9}{8}$，+∞）．

点评 本题主要考查了对数型复合函数的单调性的应用，以及函数零点的判定，体现了数形结合的解题思想，属于中档题．