Question

（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分5分，第3小题满分9分．

已知数列是各项均为正数的等差数列，公差为d（d 0）．在之间和b,c之间共插入个实数，使得这个数构成等比数列，其公比为q．

（1）求证：；

（2）若,，求d的值；

（3）若插入的n个数中，有s个位于a,b之间，t个位于b,c之间，且不都为奇数，试比较s与t的大小，并求插入的n个数的乘积（用表示）.

Answer 1

解：（1）由题意知，，         

又，可得，          ………………………………2分

即，故，又是正数，故．………………………………4分

（2）由是首项为1、公差为的等差数列，故，

若插入的这一个数位于之间，则，，

消去可得，即，其正根为．………7分

若插入的这一个数位于之间，则，，

消去可得，即，此方程无正根．

故所求公差．　　　　　　　　  　………………………………………9分

（3）由题意得，，又，

故，         ………………………………………11分

可得，又，     

故，即

又，故有，即．　  　………………………………………13分

设个数所构成的等比数列为，则，

由…，，可得

……，　　…………………16分

又，，

由不都为奇数，可得不都为偶数，

所以q必为正数，从而中的项也都为正数，

故…，可得所插入n个数的乘积为．………………18分

（另法：由又，，

由不都为奇数，可知不都为偶数，

所以q必为正数，又，　　　　　　　　　　　　　…………………15分

故……

，

所以插入n个数的乘积为．　　　　　　　　　　　…………………18分）