Question

长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，已知AB=a，BC=b，AA₁=c，且a＞b，求：
（1）下列异面直线之间的距离：AB与CC₁；AB与A₁C₁；AB与B₁C．
（2）异面直线D₁B与AC所成角的余弦值．

Answer 1

分析：（1）：主要是掌握异面直线距离的基本概念是两条直线的公垂线段，题中有的直接读出来（前两个有公垂线段），题中没有的话得先作出来再利用空间向量来求（第三个没有公垂线段）；
（2）解法一连接转化：要求异面直线D₁B与AC所成角的余弦值，先找异面直线D₁B与AC所成角即找出连DD₁的中点F，连接OF、AF，∠AOF就是异面直线D₁B与AC所成的角．然后利用空间向量求角；
解法二利用添加法：在原长方体的右侧补上一个同样的长方体，连接BG、D₁G，则AC∥BG，∴∠D₁BG（或其补角）为D₁B与AC所成的角．利用空间向量求角即可．

解答：（1）解：BC为异面直线AB与CC₁的公垂线段，故AB与CC₁的距离为b．
AA₁为异面直线AB与A₁C₁的公垂线段，故AB与A₁C₁的距离为c．
过B作BE⊥B₁C，垂足为E，则BE为异面直线AB与B₁C的公垂线，BE=

BB1•BC

B1C

=

bc

b2+c2

，即AB与B₁C的距离为

bc

b2+c2

．

（2）解法一：连接BD交AC于点O，取DD₁的中点F，连接OF、AF，则OF∥D₁B，
∴∠AOF就是异面直线D₁B与AC所成的角．
∵AO=

a2+b2

2

，OF=

1

2

BD₁=

1

2

a2+b2+c2

，AF=

b2+ c2 4

，
∴在△AOF中，cos∠AOF═

a2-b2

(a2+b2)(a2+b2+c2)

．
解法二：如图，在原长方体的右侧补上一个同样的长方体，
连接BG、D₁G，则AC∥BG，∴∠D₁BG（或其补角）为D₁B与AC所成的角．
BD₁=

a2+b2+c2

，BG=

a2+b2

，D₁G=

4a2+c2

，
在△D₁BG中，cos∠D₁BG=

D1B2+BG2-D1G2

2D1B•BG

=-

a2-b2

(a2+b2)(a2+b2+c2)

，故所求的余弦值为

a2-b2

(a2+b2)(a2+b2+c2)

．

点评：此题考查学生空间想象能力以及对异面直线距离的理解，利用空间向量求出两直线间的距离和夹角．