Question

17．定义两个平面向量的一种运算$\overrightarrow{a}$?$\overrightarrow{b}$=|$\overrightarrow{a}$|•|$\overrightarrow{b}$|sinθ，其中θ表示两向量的夹角，则关于平面向量上述运算的以下结论中：
①$\overrightarrow a?\overrightarrow b=\overrightarrow b?\overrightarrow a$，
②l（$\overrightarrow{a}$?$\overrightarrow{b}$）=（l$\overrightarrow{a}$）?$\overrightarrow{b}$，
③若$\overrightarrow{a}$=l$\overrightarrow{b}$，则$\overrightarrow{a}$?$\overrightarrow{b}$=0，
④若$\overrightarrow{a}$=l$\overrightarrow{b}$且l＞0，则（$\overline{a}$+$\overrightarrow{b}$）?$\overrightarrow{c}$=（$\overrightarrow{a}$?$\overrightarrow{c}$）+（$\overrightarrow{b}$?$\overrightarrow{c}$）．
其中恒成立的个数是（　　）

• A． 5
• B． 4
• C． 3
• D． 2

Answer 1

分析 根据由新定义，即可判断①；首先运用新定义，再当λ＜0时，即可判断②；
由向量共线得到sinθ=0，即可判断③；先由向量共线，再由新定义，即可判断④．

解答 解：对于①$\overrightarrow{a}$?$\overrightarrow{b}$=|$\overrightarrow{a}$|•|$\overrightarrow{b}$|sinθ=$\overrightarrow{b}$?$\overrightarrow{a}$，故恒成立，
对于②l（$\overrightarrow{a}$?$\overrightarrow{b}$）=l|$\overrightarrow{a}$|•|$\overrightarrow{b}$|sinθ，（l$\overrightarrow{a}$）?$\overrightarrow{b}$=|l|•|$\overrightarrow{a}$|•|$\overrightarrow{b}$|sinθ，当l＜0时不成立，
对于③若$\overrightarrow{a}$=l$\overrightarrow{b}$，则θ=0°或180°，则sinθ=0，故$\overrightarrow{a}$?$\overrightarrow{b}$=0，故成立
对于④若$\overrightarrow{a}$=l$\overrightarrow{b}$且l＞0，设$\overrightarrow{b}$与$\overrightarrow{c}$的夹角为α，则$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{c}$的夹角为α
则$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$=（1+l）$\overrightarrow{b}$，（$\overline{a}$+$\overrightarrow{b}$）?$\overrightarrow{c}$=（1+l）|$\overrightarrow{b}$|•|$\overrightarrow{c}$|•sinα，
（$\overrightarrow{a}$?$\overrightarrow{c}$）+（$\overrightarrow{b}$?$\overrightarrow{c}$）=|$\overline{a}$|•|$\overrightarrow{c}$|•sinα+|$\overrightarrow{b}$|•|$\overrightarrow{c}$|•sinα=l|$\overrightarrow{b}$|•|$\overrightarrow{c}$|•sinα+|$\overrightarrow{b}$|•|$\overrightarrow{c}$|•sinα=（1+l）|$\overrightarrow{b}$|•|$\overrightarrow{c}$|•sinα，故成立，
综上可知：只有①③④恒成立
故选：C

点评 本题考查的知识点是平面向量的运算，合情推理，正确理解新定义及熟练掌握向量的运算性质是解题的关键．