Question

（2012•惠州模拟）（注：本题第（2）（3）两问只需要解答一问，两问都答只计第（2）问得分）
已知函数f（x）=ax+xln|x+b|是奇函数，且图象在点（e，f（e））处的切线斜率为3（e为自然对数的底数）．
（1）求实数a、b的值；
（2）若k∈Z，且k＜

f(x)

x-1

对任意x＞1恒成立，求k的最大值；
（3）当m＞n＞1（m，n∈Z）时，证明：（nm^m）ⁿ＞（mnⁿ）^m．

Answer 1

分析：（1）根据函数f（x）=ax+xln|x+b|是奇函数，可得f（-x）=-f（x），从而b=0，求导函数，利用图象在点（e，f（e））处的切线斜率为3，可求a=1；
（2）当x＞1时，设g(x)=

f(x)

x-1

=

x+xlnx

x-1

，则g′(x)=

x-2-lnx

(x-1)2

，设h（x）=x-2-lnx，则可得h（x）在（1，+∞）上是增函数，可得?x₀∈（3，4），从而x∈（1，x₀）时，g（x）在（1，x₀）上为减函数；g（x）在（x₀，+∞₀）上为增函数，由此可得结论；
（3）要证（nm^m）ⁿ＞（mnⁿ）^m，即要证nlnn+mnlnm＞mlnm+mnlnn，即证n（1-m）lnn＞m（1-n）lnm，构建函数，利用导数即可证得结论．

解答：（1）解：∵函数f（x）=ax+xln|x+b|是奇函数，
∴f（-x）=-f（x），即a（-x）+（-x）ln|-x+b|=-（ax+xln|x+b|）…（2分），
∴ln|-x+b|=ln|x+b|，从而b=0…（3分），
此时f（x）=ax+xln|x|，f′（x）=a+1+ln|x|…（4分），
依题意f′（e）=a+2=3，所以a=1…（5分）
（2）解：当x＞1时，设g(x)=

f(x)

x-1

=

x+xlnx

x-1

，则g′(x)=

x-2-lnx

(x-1)2

…（6分）
设h（x）=x-2-lnx，则h′(x)=1-

1

x

＞0，h（x）在（1，+∞）上是增函数…（8分）
因为h（3）=1-ln3＜0，h（4）=2-ln4＞0，所以?x₀∈（3，4），使h（x₀）=0…（10分），
x∈（1，x₀）时，h（x）＜0，g′（x）＜0，即g（x）在（1，x₀）上为减函数；同
理g（x）在（x₀，+∞₀）上为增函数…（12分），
从而g（x）的最小值为g(x0)=

x0+x0lnx0

x0-1

=x0…（13分）
所以k＜x₀∈（3，4），k的最大值为3…（14分）．
（3）证明：要证（nm^m）ⁿ＞（mnⁿ）^m，即要证nlnn+mnlnm＞mlnm+mnlnn…（6分），
即证n（1-m）lnn＞m（1-n）lnm，

nlnn

n-1

＜

mlnm

m-1

…（8分），
设?(x)=

xlnx

x-1

，x＞1…（9分），则?/(x)=

x-1-lnx

(x-1)2

…（10分）
设g（x）=x-1-lnx，则? ′(x)=

x-1-lnx

(x-1)2

…（11分），g（x）在（1，+∞₀）上为增函数…（12分），
?x＞1，g（x）＞g（1）=1-1-ln1=0，从而?′（x）＞0，?（x）在（1，+∞₀）上为增函数…（13分），
因为m＞n＞1，所以?（n）＜?（m），

nlnn

n-1

＜

mlnm

m-1

，
所以（nm^m）ⁿ＞（mnⁿ）^m…（14分）

点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的解析式，考查函数的单调性与最值，考查不等式的证明，属于难题．