Question

16．若实数x，y满足x²+y²≤4，求以下代数式的最值．
（1）$\frac{y-2}{x+3}$，（2）|3x-2y+1|；（3）x²+2x+y²-y+1．

Answer 1

分析 （1）$\frac{y-2}{x+3}$表示圆上的点M（x，y）与点A（-3，2）连线的斜率，当直线MA和圆相切时，由圆心（0，0）到直线的距离等于半径2，求得k的值，可得$\frac{y-2}{x+3}$的范围．
（2）令 t=|3x-2y+1|，故当直线3x-2y+1±t=0和圆x²+y²=4相切时，t取得最值，由得$\frac{|0-0+1±t|}{\sqrt{9+4}}$=2，求得t的值，即为所求．
（3）x²+2x+y²-y+1=（x+1）²+${（y-\frac{1}{2}）}^{2}$-$\frac{1}{4}$，表示圆内的点（含边界）与点N（-1，$\frac{1}{2}$）之间的距离的平方减去$\frac{1}{4}$，求得NO，可得x²+2x+y²-y+1的最大值和最小值．

解答 解：由于实数x，y满足x²+y²≤4，则点（x，y）位于以原点为圆心、以2为半径的圆的内部（包含圆），
（1）$\frac{y-2}{x+3}$表示圆上的点M（x，y）与点A（-3，2）连线的斜率 k，
当直线MA和圆相切时，由圆心（0，0）到直线y-2=k（x+3）的距离等于半径2，
可得$\frac{|0-0+3k+2|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=2，求得k=0，或 k=-$\frac{12}{5}$，
故$\frac{y-2}{x+3}$∈[-$\frac{12}{5}$，0]．
（2）令 t=|3x-2y+1|，则3x-2y+1=±t，故当直线3x-2y+1±t=0和圆x²+y²=4相切时，
t取得最值．
根据圆心（0，0）到直线3x-2y+1±t=0 的距离等于半径2，可得$\frac{|0-0+1±t|}{\sqrt{9+4}}$=2，
即|t-1|=2$\sqrt{13}$，求得t=2$\sqrt{13}$+1，或 t=2$\sqrt{13}$-1，故t的最大值为2$\sqrt{13}$+1，最小值为2$\sqrt{13}$-1．
（3）x²+2x+y²-y+1=（x+1）²+${（y-\frac{1}{2}）}^{2}$-$\frac{1}{4}$，表示圆内的点（含边界）与点N（-1，$\frac{1}{2}$）之间的距离的平方减去$\frac{1}{4}$，
求得NO²=$\frac{5}{4}$，故x²+2x+y²-y+1的最大值为${（2+\frac{\sqrt{5}}{2}）}^{2}$-$\frac{1}{4}$=5+2$\sqrt{5}$；x²+2x+y²-y+1的最小值为0-$\frac{1}{4}$=-$\frac{1}{4}$．

点评 本题主要考查圆的标准方程，直线的斜率公式、两点间的距离公式，体现了数形结合的数学思想，属于中档题．