Question

如图（1），在等腰梯形CDEF中，CB、DA是梯形的高，AE=BF=2，，现将梯形沿CB、DA折起，使EF∥AB且EF=2AB，得一简单组合体ABCDEF如图（2）示，已知M，N，P分别为AF，BD，EF的中点．

（1）求证：MN∥平面BCF；
（2）求证：AP⊥平面DAE；
（3）若AD=2，求四棱锥F-ABCD的体积．

Answer 1

解：（1）证明：连结AC，∵四边形ABCD是矩形，N为BD中点，
∴N为AC中点，----------------------------------------------（1分）
在△ACF中，M为AF中点，故MN∥CF--------------------------（3分）
∵CF?平面BCF，MN?平面BCF，∴MN∥平面BCF；---（4分）
（2）依题意知DA⊥AB，DA⊥AE 且AB∩AE=A∴AD⊥平面ABFE
∵AP?平面ABFE，∴AP⊥AD，------------------（5分）
∵P为EF中点，∴结合AB∥EF，知四边形ABFP是平行四边形
∴AP∥BF，AP=BF=2------------------------------------（7分）
而，∴AP²+AE²=PE²∴∠EAP=90°，即AP⊥AE-----（8分）
又AD∩AE=A∴AP⊥平面ADE，----------------------------------（9分）
（3）∵三棱锥F-CBD与F-ABD等底等高，∴V_F-BCD=V_F-ABD，-----------（10分）
∴V_F-ABCD=2V_F-ABD=2V_D-ABF，-----------------------------------------------（11分）
由（2）知△PAE为等腰直角三角形，∴∠APE=45°，从而∠FBA=∠APF=135°------（12分）
故
∴
∴--------------------------------------------------（14分）
分析：（1）连结AC，通过证明MN∥CF，利用直线与平面平行的判定定理证明MN∥平面BCF；
（2）通过证明AP⊥AD，AP⊥AE，利用直线与平面垂直的判定定理求证：AP⊥平面DAE；
（3）若AD=2，通过V_F-BCD=V_F-ABD，求出底面面积与高，即可求四棱锥F-ABCD的体积．
点评：本题考查直线与平面平行与垂直的判定定理的应用，几何体的体积的求法，考查空间想象能力与计算能力．