Question

已知函数（a，b，c∈N）的图象按向量平移后得到的图象关于原点对称，且f（2）=2，f（3）＜3．
（1）求a，b，c的值；
（2）设0＜|x|＜1，0＜|t|≤1．求证：|t+x|+|t-x|＜|f（tx+1）|
（3）定义函数G（x）=f（x）-x+2．当n为正整数时，求证：G（4）×G（6）×G（8）×…×G（2n）＞．

Answer 1

解：（1）函数f（x）的图象按向量
平移后得到的图象所对应的函数式为
因为图象关于原点对称，∴g（-x）=-g（x），即
∵a∈N，∴ax²+1＞0，b（-x）+c=bx+c，∴c=0
∵f（2）=2，∴a=2b-1，又f（3）＜3，∴4a+1＜6b由条件知a=1，b=1
（2）∵f（x）=，∴f（tx+1）=tx+
∴|f（tx+1）|=|tx+|=|tx|+||≥2=2
当且仅当|tx|=1时等号成立．
但0＜|x|＜1，0＜|t|≤1，∴|tx|≠1，|f（tx+1）|＞2．
由于S=（|t+x|+|t-x|）²=2（t²+x²）+2|t²-x²|
当|t|≥|x|时，S=4t²≤4；当|t|＜|x|时S=4x²＜4．
∴|t+x|+|t-x|≤2＜|f（tx+1）|，即|t+x|+|t-x|＜|f（tx+1）|
（3）由（1）知：G（x）=f（x）-x+2=
令A=G（4）×G（6）×G（8）×…×G（2n）=
由不等式（b＞a，a，b，m∈R⁺），
得
将这些同向不等式相乘得


故A＞，即G（4）×G（6）×G（8）×…×G（2n）＞．
分析：（1）函数f（x）的图象按向量平移后得到的图象所对应的函数式为，因为图象关于原点对称，g（-x）=-g（x），即．由此结合题设条件能导出a=1，b=1．
（2）由f（tx+1）=tx+，知|f（tx+1）|=|tx+|=|tx|+||≥2=2，再由0＜|x|＜1，0＜|t|≤1，知|tx|≠1，|f（tx+1）|＞2．由此能够证明|t+x|+|t-x|＜|f（tx+1）|．
（3）由G（x）=f（x）-x+2=，令A=G（4）×G（6）×G（8）×…×G（2n）=，由不等式（b＞a，a，b，m∈R⁺），得．由此能够证明G（4）×G（6）×G（8）×…×G（2n）＞．
点评：本题考查不等式的证明，解题时要认真审题，仔细解答，注意公式的合理运用．