Question

对于x∈（1，2]，关于x的不等式

lg2ax

lg(a+x)

＜1总成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：由题意可得，lg（a+x）＞0，则由不等式

lg2ax

lg(a+x)

＜1总成立可得（2a-1）x＜a总成立，从而需要对2a-1的正负讨论
（1）a＞

1

2

时，由1＜x≤2时x＜

a

2a-1

可得x＜

a

2a-1

的最小值即可；（2）a=

1

2

时，（3）0＜a＜

1

2

时，x＞

a

2a-1

，x＞

a

2a-1

的最大值即可，从而可求a的范围

解答：解：由1＜x≤2，得a＞0，a+x＞1，
∴lg（a+x）＞0
∵

lg2ax

lg(a+x)

＜1总成立
∴lg2ax＜lg（a+x），即2ax＜a+x  
∴（2a-1）x＜a总成立
（1）a＞

1

2

时，x＜

a

2a-1

，由1＜x≤2时x＜

a

2a-1

总成立，得

a

2a-1

＞2，
∴

1

2

＜a＜

2

3

（2）a=

1

2

时，有0•x＜

1

2

∴1＜x≤2时不等式总成立
（3）0＜a＜

1

2

时，x＞

a

2a-1

，由1＜x≤2时x＞

a

2a-1

总成立，
∴a≤1，
综合0＜a＜

1

2

，得0＜a＜

1

2

综上三类讨论可得，0＜a＜

2

3

点评：本题主要考查了对数函数的单调性在不等式中的应用，函数的恒成立与函数最值求解的相互转化，要注意分类讨论思想的应用．