Question

已知数列1，3，6，…的各项是由一个等比数列{a_n}和一个等差数列{b_n}的对应项相加而得到，其中等差数列的首项为0．
（I）求{a_n}与{b₀}的通项公式；
（Ⅱ）求数列{a_n+b_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析：（I）设数列{a_n}的公比为q，数列{b_n}的公差为d，由题意可得，由题意可得，

b1=0 a1+b1=0 aq+b1+d=3 a1q2+b1+2d=6

，解方程可求a₁，q，d，进而可求通项
（II）S_n=（a₁+a₂+…+a_n）+（b₁+b₂+…+b_n），利用分组求和，利用等差数列与等比数列的求和公式可求

解答：解：（I）设数列{a_n}的公比为q，数列{b_n}的公差为d
由题意可得，

b1=0 a1+b1=0 aq+b1+d=3 a1q2+b1+2d=6

（2分）
解可得，d=1，q=2，a₁=1（5分）
∴an=2n-1，b_n=n-1（8分）
（II）S_n=（a₁+a₂+…+a_n）+（b₁+b₂+…+b_n）
=（1+2+…+2^n-1）+[0+1+…+（n-1）]
=

1-2n

1-2

+

n(n-1)

2

=2n-1+

n(n-1)

2

（12分）

点评：本题主要考查了等差数列、等比数列的通项公式及求和公式的应用，分组求和方法的应用．