Question

已知平面直角坐标系中

OA

=（2

2

，0），满足

OB

+

OA

=

0

，平面内有一动点E使得|

BE

-

BA

|+|

AE

-

AB

|=6．
（1）求动点E的轨迹方程C；
（2）过曲线C上的动点P向圆x²+y²=1引切线PA，PB，其中A，B为切点且直线AB交x轴，y轴于M，N，求△MON面积的最小值．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：向量与圆锥曲线

分析：（1）由已知向量的坐标和向量等式求出

OB

的坐标，再由|

BE

-

BA

|+|

AE

-

AB

|=6得到|

AE

|+|

BE

|=6．由此可知动点E的轨迹为椭圆，结合椭圆定义求得椭圆方程；
（2）设出P点坐标，得到以|OP|为直径的圆的方程，与已知圆的方程联立得到过切点A，B的直线方程，求得直线与坐标轴的交点，由两点间的距离公式求得MN的距离，再由点到直线的距离公式求得O到MN的距离，代入三角形的面积公式，然后把P点的坐标代入椭圆方程利用基本不等式求面积的最小值．

解答： 解：（1）∵

OA

=（2

2

，0），且

OB

+

OA

=

0

，
∴

OB

=-

OA

=(-2

2

，0)，
又|

BE

-

BA

|+|

AE

-

AB

|=6，即|

AE

|+|

BE

|=6．
∴动点E的轨迹为以B，A为焦点，6为长轴的椭圆，
由2a=6，a=3，c=2

2

，
∴b²=a²-c²=9-8=1．
∴动点E的轨迹方程C：

x2

9

+y2=1；
（2）设点P（x₀，y₀），则以|OP|为直径的圆的方程为x2-x0x+y2-y0y=0．
与圆的方程x²+y²=1相减得：x₀x+y₀y=1，此方程即是过切点A，B的直线方程（x₀y₀≠0）．
令x=0，得y=

1

y0

，∴N（0，

1

y0

）；
令y=0，得x=

1

x0

，∴M（

1

x0

，0）．
∴|MN|=

( 1 x0 )2+( 1 y0 )2

=

x02+y02

|x0y0|

，
点O到直线MN的距离d=

1

x02+y02

，
∴S_△OMN=

1

2

d|MN|=

1

2

•

1

|x0y0|

，
∵点P在椭圆C：

x2

9

+y2=1上，
∴1=

x02

9

+y02≥2

x02y02 9

=

2|x0y0|

3

，
当|x₀|=|3y₀|时取等号．
∴2|x₀y₀|≤3，
∴S_△OMN≥

1

2

×

2

3

=

1

3

．
故△MON面积的最小值是

1

3

．

点评：本题是直线与圆锥曲线的综合题，考查了椭圆方程的求法，训练了由圆系方程求过圆的两切点的直线方程的方法，考查了利用基本不等式求函数最值，属难题．