Question

求下列函数的值域：
（1）y=3x²-x+2；（2）y=

-x2-6x-5

；（3）y=

3x+1

x-2

；
（4）y=x+4

1-x

；（5）y=x+

1-x2

（6）y=

2x2-x+2

x2+x+1

；

Answer 1

分析：（1）（配方法）∵y=3x²-x+2=3（x-

1

6

）²+

23

12

（2）看作是复合函数先设μ=-x²-6x-5（μ≥0），则原函数可化为y=

μ

，再配方法求得μ的范围，可得

μ

的范围．
（3）可用分离变量法：将函数变形，y=

3x+1

x-2

=

3(x-2)+7

x-2

=3+

7

x-2

，再利用反比例函数求解．
（4）用换元法设t=

1-x

≥0，则x=1-t²，原函数可化为y=1-t²+4t，再用配方法求解
（5）由1-x²≥0?-1≤x≤1，可用三角换元法：设x=cosα，α∈[0，π]，将函数转化为y=cosα+sinα=

2

sin（α+

π

4

）用三角函数求解
（6）由x²+x+1＞0恒成立，
即函数的定义域为R，用判别式法，将函数转化为二次方程（y-2）x²+（y+1）x+y-2=0有根求解．

解答：解：（1）（配方法）∵y=3x²-x+2=3（x-

1

6

）²+

23

12

≥

23

12

，
∴y=3x²-x+2的值域为[

23

12

，+∞）
（2）求复合函数的值域：
设μ=-x²-6x-5（μ≥0），则原函数可化为y=

μ

又∵μ=-x²-6x-5=-（x+3）²+4≤4，
∴0≤μ≤4，故

μ

∈[0，2]，
∴y=

-x2-6x-5

的值域为[0，2]
（3）分离变量法：y=

3x+1

x-2

=

3(x-2)+7

x-2

=3+

7

x-2

，
∵

7

x-2

≠0，∴3+

7

x-2

≠3，
∴函数y=

3x+1

x-2

的值域为{y∈R|y≠3}
（4）换元法（代数换元法）：设t=

1-x

≥0，则x=1-t²，
∴原函数可化为y=1-t²+4t=-（t-2）²+5（t≥0），∴y≤5，
∴原函数值域为（-∞，5]
注：总结y=ax+b+

cx+d

型值域，
变形：y=ax²+b+

cx2+d

或y=ax²+b+

cx+d

（5）三角换元法：
∵1-x²≥0?-1≤x≤1，
∴设x=cosα，α∈[0，π]，
则y=cosα+sinα=

2

sin（α+

π

4

）
∵α∈[0，π]，
∴α+

π

4

∈[

π

4

，

5π

4

]，
∴sin（α+

π

4

）∈[-

2

2

，1]，
∴

2

sin（α+

π

4

）∈[-1，

2

]，
∴原函数的值域为[-1，

2

]
（6）判别式法：∵x²+x+1＞0恒成立，
∴函数的定义域为R
由y=

2x2-x+2

x2+x+1

得：（y-2）x²+（y+1）x+y-2=0①
①当y-2=0即y=2时，①即3x+0=0，
∴x=0∈R
②当y-2≠0即y≠2时，
∵x∈R时方程（y-2）x²+（y+1）x+y-2=0恒有实根，
∴△=（y+1）²-4×（y-2）²≥0，
∴1≤y≤5且y≠2，
∴原函数的值域为[1，5]

点评：本题主要考查求函数值域的一些常用的方法．配方法，分离变量法，三角换元法，代数换元法，判别式法…