Question

已知矩阵M=

1 b c 2

有特征值λ₁=4及对应的一个特征向量

e1

=

2′ 3′

．
（1）求矩阵M；
（2）求曲线5x²+8xy+4y²=1在M的作用下的新曲线方程．

Answer 1

分析：（1）由矩阵M=[

1 b c 2

]有特征值λ₁=4及对应的一个特征向量

e1

=

2′ 3′

，可得[

1 b c 2

]

2′ 3′

=

8′ 12′

，即2+3b=8，2c+6=12，解得b，c值后可得矩阵M；
（2）设曲线上任一点P（x，y），P在M作用下对应点为P′（x′，y′），则

x′′ y′′

=[

1 2 3 2

]

x′ y′

，即

x= y′-x′ 2 y= 3x′-y′ 4

，代入曲线5x²+8xy+4y²=1后化简可得曲线5x²+8xy+4y²=1在M的作用下的新曲线方程．

解答：解：（1）∵M=[

1 b c 2

]，

e1

=

2′ 3′

．
则[

1 b c 2

]

2′ 3′

=

8′ 12′

即2+3b=8，2c+6=12
解得b=2，c=3
∴M=[

1 2 3 2

]
（2）设曲线上任一点P（x，y），P在M作用下对应点为P′（x′，y′），
则

x′′ y′′

=[

1 2 3 2

]

x′ y′

即

x′=x+2y y′=3x+2y

即

x= y′-x′ 2 y= 3x′-y′ 4

代入曲线5x²+8xy+4y²=1得x′²+y′²=2
即曲线5x²+8xy+4y²=1在M的作用下的新曲线方程为x²+y²=2

点评：本题考查的知识点是特征值与特征向量的计算，熟练掌握矩阵的运算法则是解答的关键