Question

(2005山东，20)如下图，已知长方体，AB=2，，直线BD与平面所成的角为30°，AE垂直BD于E，F为的中点．

(1)求异面直线AE与BF所成的角；

(2)求平面BDF与平面所成二面角(锐角)的大小；

(3)求点A到平面BDF的距离．

Answer 1

答案：略
解析：

解析：解法一：在长方体中，以AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，所在直线为z轴建立空间直角坐标系如下图． 由已知AB=2，，可得A(0，0，0)，B(2，0，0)，F(1，0，1)． 又AD⊥平面，从而BD与平面所成的角即为∠DBA=30°，又AB=2，AE⊥BD，AE=1，， 从而易得，D． (1)因为， 所以． 即异面直线AE、BF所成的角为． (2)易知平面的一个法向量m=(0，1，0)． 设n=(x，y，z)是平面BDF的一个法向量， ．由 取n=(1，，1)，∴， 即平面BDF与平面所成二面角(锐角)大小为． (3)点A到平面BDF的距离，即在平面BDF的法向量n上的投影的绝对值． 所以距离． 所以点A到平面BDF的距离为． 解法二：如下图． (1)连结，过F作的垂线，垂足为K， ∵与两底面ABCD，都垂直， ， ，因此FK∥AE． ∴∠BFK为异面直线BF与AE所成的角．连结BK，由FK⊥面得FK⊥BK，从而△BKF为Rt△． 在Rt△和Rt△中，由得 ， 又，故． ∴异面直线BF与AE所成的角为． (2)如下图，由于DA⊥面，由A作BF的垂线AG，垂足为G．连结BG，由三垂线定理知BG⊥DG． ∴∠AGD即为平面BDF与平面所成二面角的平面角． 且∠DAG=90°．在平面中，延长BF与交于点S， ∵F为的中点，， ∴、F分别为SA、SB的中点，即． ∴Rt△BAS为等腰三角形，垂足G点为斜边SB的中点F，即F、G重合， 易得．在Rt△BAS中，， ∴，． 平面BDF与平面所成二面角(锐角)为． (3)如下图，由(2)知平面AFD是平面BDF与平面所成二面角的平面角所在的平面， ∴面AFD⊥面BDF． 在Rt△ADF中，由A作AH⊥DF于H，则AH即为点A到平面BDF的距离． 由， 得 ． 所以点A到平面BDF的距离为．

提示：

剖析：本题考查线线角、线面角以及点面距离的求法，可用传统综合法或向量法求解．