Question

动点到定点与到定直线,的距离之比为 ．

（1）求的轨迹方程；

（2）过点的直线（与x轴不重合）与（1）中轨迹交于两点、.探究是否存在一定点E(t，0)，使得x轴上的任意一点(异于点E、F)到直线EM、EN的距离相等？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由．

 

Answer 1

【答案】

（1） ;（2）2

【解析】

试题分析：（1）动点到定点与到定直线,的距离之比为 .根据两点的距离即点到直线的距离公式，即可求出结论.

（2）根据题意假设直线方程联立椭圆方程消去y，得到一个关于x的二次方程，写出韦达定理得到M,N的坐标的关系式.因为题意要求x轴上的任意一点(异于点E、F)到直线EM、EN的距离相等，所以满足.结合韦达定理，即可得到结论.

试题解析：（1）由题意得, ,

化简得, ,即,即点的轨迹方程

（2）若存在点E(t，0)满足题设条件.并设M(x1，y1)、N(x2，y2)，

当⊥x轴时，由椭圆的对称性可知，x轴上的任意一点(异于点E、F)到直线EM、EN的距离相等

当与x轴不垂直时，设直线l的方程为y＝k(x－1)(k≠0)．

，得，

所以

根据题意，x轴平分∠MEN，则直线ME、NE的倾斜角互补，即KME＋KNE＝0．

设E(t，0)，则有(当x1＝t或x2＝t时不合题意)

又k≠0，所以，将y1＝k(x1－1)，y2＝k(x2－1)代入上式，得

又k≠0，所以，即，

，，将代入，解得t＝2．

综上，存在定点E(2，0)，使得x轴上的任意一点(异于点E、F)到直线EM、EN的距离相等.

考点：1.待定系数求椭圆的方程.2.直线与椭圆的位置关系.3.归纳转化的思想.4.运算能力.