Question

已知　f(x)=

x

ex

（e是自然对数的底数），
（Ⅰ）求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）设a_n=f（n），求数列{a_n}的前n项和S_n，并证明

e(en-1)-n(e-1)

(e-1)2en

≤

n

e

．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求导函数，利用导数的正负，即可求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）求出数列的通项．利用等比数列的求和公式求和，即可得到结论．

解答：解：（Ⅰ）∵f(x)=

x

ex

，∴f′(x)=

ex-xex

(ex)2

=

1-x

ex

，
当x＜1时，f′（x）＞0，f（x）是单调递增，当x＞1时，f′（x）＞0，f（x）是单调递减．
所以f（x）的递增区间是（-∞，1]，递减区间是[1，+∞）．　…5分
（Ⅱ）∵a_n=f（n），S_n=a₁+a₂+…+a_n，∴an=

n

en

且Sn=

1

e

+

2

e2

+

3

e3

…+

n

en

，
∴

1

e

Sn=

1

e2

+

2

e3

+

3

e4

+…+

n-1

en

+

n

en+1

∴(1-

1

e

)Sn=

1

e

+

1

e2

+

1

e3

+…+

1

en

-

n

en+1

=

1 e (1- 1 en )

1- 1 e

-

n

an+1

∴Sn=

e(en-1)-n(e-1)

en(e-1)2

．
由（Ⅰ）知f(x)max=f(1)=

1

e

，∴f(x)≤

1

e

，∴an=f(n)≤

1

e

，∴Sn≤

n

e

，
∴

e(en-1)-n(e-1)

en(e-1)2

≤

n

e

．…13分．

点评：本题考查导数知识的运用，考查导数的几何意义，考查不等式的证明，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．