Question

已知向量

m

=(2cosωx，1)，

n

=(

3

sinωx-cosωx，a)，其中（x∈R，ω＞0），函数f(x)=

m

•

n

的最小正周期为π，最大值为3．
（I）求ω和常数a的值；
（Ⅱ）求函数f（x）的单调递增区间．

Answer 1

分析：（I）利用数量积化简函数，通过二倍角、两角和的正弦函数化为一个角的一个三角函数的形式，利用周期求出ω，通过最大值求出a的值；
（Ⅱ）结合（I）得到函数的表达式，利用正弦函数的单调增区间，求函数f（x）的单调递增区间．

解答：解：（I）f(x)=

m

•

n

=2

3

sinωxcosωx-2cos2ωx+a（1分）
=

3

sin2ωx-cos2ωx-1+a=2sin(2ωx-

π

6

)+a-1（3分）
由T=

2π

2ω

=π，得ω=1．（4分）
又当sin(2ωx-

π

6

)=1时y_max=2+a-1=3，得a=2（6分）
（Ⅱ）由（I）知f(x)=2sin(2x-

π

6

)+1当2kπ-

π

2

≤2x-

π

6

≤2kπ+

π

2

(k∈Z)（8分）
即kπ-

π

6

≤x≤kπ+

π

3

（10分）
故f（x）的单调增区间为[kπ-

π

6

，kπ+

π

3

]，（k∈Z）（12分）

点评：本题是基础题，考查三角函数的化简求值，函数的周期、最值、单调增区间，考查计算能力，常考题型．