Question

定义：对于两个双曲线,,若的实轴是的虚轴，的虚轴是的实轴，则称,为共轭双曲线.现给出双曲线和双曲线，其离心率分别为.

（1）写出的渐近线方程（不用证明）；

（2）试判断双曲线和双曲线是否为共轭双曲线？请加以证明.

（3）求值：.

 

Answer 1

【答案】

（1）、；（2）是；（3）1.

【解析】

试题分析：（1）由其图像很容易知道的渐近线方程即轴和一、三象限的角平分线.从而写出

的渐近线方程都是：和；（2）先利用渐近线与实轴、虚轴间的关系得到的实轴所在直线为

与虚轴所在直线为.然后计算实轴与双曲线

的交点，从而得到、 、.同理也可得到的类似数据，从

而得到证明；（3）由上问即可得到，，所以=1 .

试题解析：（1）的渐近线方程都是：和.                3分

（2）双曲线是共轭双曲线.                             4分

 证明如下： 对于，实轴和虚轴所在的直线是和的角平分线所

的直线，  所以的实轴所在直线为，

虚轴所在直线为，                        6分

 实轴和的交点到原点的距离的平方.

又，所以 从而得；     8分

同理对于，实轴所在直线为，

虚轴所在直线为，

实轴和的交点到原点的距离的平方

  ，所以，从而得.

综上所述，双曲线是共轭双曲线.                              10分

（3） 由（2）易得，，

 所以=1 .                                                 13分

考点：1.双曲线的几何性质；2.共轭双曲线的定义；3.离心率.