Question

对于给定的以下四个命题，其中正确命题的个数为（ ）
①函数是奇函数；
②函数f（x）在（a，b）和（c，d）都是增函数，若x₁∈（a，b），x₂∈（c，d），且x₁＜x₂则一定有f（x₁）＜f（x₂）；
③函数f（x）在R上为奇函数，且当x＞0时有，则当x＜0，f（x）=；
④函数的值域为{y|y≤1}．
A．1
B．2
C．3
D．4

Answer 1

【答案】分析：①由=x（x≠2）的定义域关于原点不对称，可得函数是非奇非偶函数
②例如y=sinx在（0，），（2π，）上单调递增，取，但是f（x₁）=f（x₂），
③函数f（x）在R上为奇函数，且当x＞0时有，则当x＜0，-x＞0，则可得f（x）=-f（-x）可求
④函数，令t=则x=，且t≥0，从而有==，利用二次函数的性质可求
解答：解：①∵=x（x≠2）的定义域关于原点不对称，故函数是非奇非偶函数，①错误
②函数f（x）在（a，b）和（c，d）都是增函数，若x₁∈（a，b），x₂∈（c，d），且x₁＜x₂则一定有f（x₁）＜f（x₂）错误，例如y=sinx在（0，），（2π，）上单调递增，取，但是f（x₁）=f（x₂），故②错误．
③函数f（x）在R上为奇函数，且当x＞0时有，则当x＜0，-x＞0，则可得f（x）=-f（-x）=，故③正确
④函数，令t=则x=，且t≥0，
∴==
当t=1时，函数有最大值1，即函数的值域为{y|y≤1}故④正确
故选B
点评：本题主要考查了函数奇偶性的判定，解题中不要漏掉函数定义域的考虑，函数单调性的应用，及由奇函数的性质求解函数解析式，利用换元法求解函数的值域，综合考查了函数的性质的应用．