Question

（2010•唐山三模）在△ABC中，∠A=15°，∠B=105°，若以A，B为焦点的椭圆经过点C．则该椭圆的离心率e=

2

2

．

Answer 1

分析：先根据△ABC中，∠A=15°，∠B=105°，借助于正弦定理求出三角形ABC的三边长，因为三角形ABC为椭圆中的焦点三角形，所以可用三边长表示椭圆中的长轴长2a和焦距2c，再代入离心率公式即可．

解答：解：∵△ABC中，∠A=15°，∠B=105°，
设三角形外接圆半径为R，则有正弦定理得：
∴|AB|=2RsinC=2Rsin60°，|BC|=2RsinA=2Rsin15°，|AC|=2RsinB=2Rsin105°．
∵椭圆以B，C为焦点，且经过A点，
∴2a=|AC|+|CB|，2c=|BA|
∴椭圆离心率e=

c

a

=

2c

2a

=

|BA|

|AC|+|BC|

=

2Rsin60°

2Rsin15°+2Rsin105°

=

sin60°

sin15°+sin105°

=

sin60°

sin(60°-45°)+sin(60°+45°)

=

sin60°

(sin60°cos45°-cos60°sin45°)+(sin60°cos45°+cos60°sin45°)

=

sin60°

2sin60°cos45°

=

1

2

=

2

2

．
故答案为：

2

2

．

点评：本题主要考查椭圆中离心率的求法，关键是借助焦点三角形中的三边关系求出a，c之间的关系，最后借助于两角和与差的正弦求出结论．