Question

如图，在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AA₁=AD=1，E为CD中点．
（1）求证：B₁E⊥AD₁；
（2）若AB=2，求二面角A-B₁E-A₁的大小．

Answer 1

（1）证明：因为AA₁D₁D为正方形，所以A₁D⊥AD₁，
．
又B₁E?面A₁B₁CD?AD₁⊥B₁E．
（2）解：如图建立空间直角坐标系，则A（0，0，0），B₁（2，0，1），E（1，1，0），
所以，
设=（x，y，z）为面AB₁E的一个法向量，则，即，
取面AB₁E的一个法向量为，
同理可取面A₁B₁E一个法向量为，
设二面角A-B₁E-A₁为α，则，
，即二面角A-B₁E-A₁的大小为．
分析：（1）要证B₁E⊥AD₁，可证AD₁⊥面A₁B₁CD，利用线面垂直的判定定理即可证明；
（2）建立空间直角坐标系，求出两半平面的法向量，转化为法向量的夹角解决；
点评：本题考查二面角的求法及线面垂直的判定，常用方法：（1）判定定理；（2）向量法；使用向量时注意向量夹角与所求角之间的关系．