Question

下列命题正确的有（　　）
①对任意实数a、b，都有|a+b|+|a-b|≥2a
②函数y=x

1-x2

（0＜x＜1）的最大函数值为

1

2

；
③对a∈R，不等式|x|＜a的解集可表示为{x|-a＜x＜a}；
④若AB≠0，则lg

|A|+|B|

2

≥

lg|A|+lg|B|

2

．

A．①②④

B．③④

C．②③

D．①④

Answer 1

分析：①根据绝对值不等式来判断．②利用基本不等式或二次函数的性质判断．③利用绝对值不等式的解法判断．④利用基本不等式以及对数函数的单调性判断．

解答：解：①根据绝对值不等式的性质可知对任意实数a、b，都有|a+b|+|a-b|≥|a+b+a-b|=2|a|≥2a，所以①正确．
②因为0＜x＜1，所以y=x

1-x2

≤

x2+1-x2

2

=

1

2

，当且仅当x=

1-x2

，解得2x²=1，x=

2

2

时取等号，所以②正确．
③当a≤0时，不等式|x|＜a的解集为空集，所以③错误．
④因为

|A|+|B|

2

≥

|A|?|B|

，所以lg

|A|+|B|

2

≥lg

|A|?|B|

=

lg|A|+lg|B|

2

所以④正确．
故正确的是①②④．
故选A．

点评：本题主要考查了命题的真假判断以及不等式的解法和应用．