Question

已知a∈R，，g（x）=alnx
（1）当a=1时，求h（x）=f（x）+g（x）在（0，1]上的最大值；
（2）若函数t（x）=f（x）+g（x）在（0，1]上单调递增，求a的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（I）求导，令f′（x）＞0求出函数的增区间，令f′（x）＜0求出函数的减区间；
（2）由（Ⅰ）知，f（x）在[0，2]上的单调性，求得函数的极值，和f（0）、f（1）比较大小，确定函数的最大值．
解答：解：（1）当a=1时，h（x）=f（x）+g（x）=+lnx
函数的定义域为（0，+∞），
h′（x）=＞0
∴h（x）在（0，1]单调递增，
故函数h（x）_max=h（1）=0
（2）（x＞0）
∵t（x）在（0，1]上是增函数．
∴t'（x）≥0在（0，1]上恒成立．
即在（0，1]上恒成立．
在（0，1]上恒成立．
令h（x）=
则原问题等价于求h（x）在（0，1]上的最大值．

现只要比较与大小，即可判断h'（x）的符号．
事实上（在x＞0时恒成立．）
∴h'（x）＞0，即h（x）在（0，1]上是增函数．
∴h（x）在（0，1]上的最大值为
∴．
点评：考查利用导数研究函数的单调性和最值，属难题．