Question

设0＜|

a

|≤2，函数f（x）=cos²x-|

a

|sinx-|

b

|的最大值为0，最小值为-4，且

a

与

b

的夹角为45°，求|

a

+

b

|．

Answer 1

考点：数量积表示两个向量的夹角

专题：平面向量及应用

分析：由题意可得f（x）=-（sinx+

| a |

2

）²+

| a |2

4

+1-|

b

|，由二次函数区间的最值可得|

a

|=|

b

|=2，代入向量的模长公式计算可得．

解答： 解：f（x）=cos²x-|

a

|sinx-|

b

|
=-sin²x-|

a

|sinx+1-|

b

|
=-（sinx+

| a |

2

）²+

| a |2

4

+1-|

b

|，
∵0＜|

a

|≤2，∴-1≤-

| a |

2

＜0，
由二次函数可知当sinx=-

| a |

2

时，f（x）取最大值

| a |2

4

+1-|

b

|=0，
当sinx=1时，f（x）取最小值-|

a

|-|

b

|=-4，
联立以上两式可得|

a

|=|

b

|=2，
又∵

a

与

b

的夹角为45°，
∴|

a

+

b

|=

( a + b )2

=

22+2×2×2× 2 2 +22

=

8+4 2

点评：本题考查数量积与向量的夹角，涉及二次函数的最值和模长公式，属基础题．