Question

定义在R上的函数f（x）满足f（x+1）=-f（x），且函数y=f(x+

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2

)是偶函数又在区间(0，

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2

)上递增．给出四个命题：
①函数f（x）是周期函数；
②函数f（x）是奇函数；
③函数f（x）图象关于点（1，0）对称；
④函数f（x）在区间(

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2

，3)上递减．
其中所有正确命题的序号是

①②③④

．

Answer 1

分析：①由f（x+1）=-f（x），可得f[（x+1）+1]=f（x），由周期函数的定义可以判断①的正误；
②利用y=f(x+

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2

)是偶函数，采用换元法，结合周期性可判断其奇偶性；
③设出y=f（x）上任意一点P（x₀，y₀）关于（1，0）的对称点为P′（2-x₀，-y₀），由曲线关于点对称的定义去判断正误；
④利用函数y=f(x+

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2

)是偶函数，又在区间(0，

1

2

)上递增，结合函数的周期性可以判断其正误．

解答：解：∵f（x+1）=-f（x），可得f（x+2）=f（x），∴函数f（x）是周期函数，①正确；
∵y=f(x+

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)是偶函数，∴f（-x+

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）=f(x+

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)，令-x+

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=t，有f（t）=f（1-t），∴有f（x）=f（1-x）；（1）
又f（x+1）=-f（x），∴f（-x+1）=-f（-x），（2），由（1）（2）得-f（-x）=f（x），即f（-x）=-f（x），
∴函数f（x）是奇函数；②正确；
设P（x₀，y₀）为y=f（x）上任意一点，点P关于（1，0）的对称点为P′（2-x₀，-y₀），由①②正确可知，
f（2-x₀）=f（-x₀）=-f（x₀）=-y₀，即P′（2-x₀，-y₀）也在y=f（x）上，即函数f（x）图象关于点（1，0）对称，③正确；
∵函数y=f(x+

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2

)是偶函数，又在区间(0，

1

2

)上递增，∴f（x）在(

1

2

，1)上递减，又f（x+2）=f（x），∴函数f（x）在区间(

5

2

，3)上递减，④正确；
故答案为：①②③④．

点评：本题考查函数奇偶性的性质，难点在于对抽象函数y=f（x）函数奇偶性的判断，考查学生的综合分析与转化能力，属于难题．