Question

18．如图，四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD为正方形，BC=PD=2．
（1）求证：PC⊥BC；
（2）如图（1），若O、F分别是BD、PD中点，Q在线段PA上，满足AO∥平面BFQ，求$\frac{AQ}{QP}$的值；
（3）如图（2），若E为PC的中点，CB=3CG，AD边上是否存在一点M，使得PA∥平面MEG？若存在，求AM的长；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）由PD⊥平面ABCD，ABCD是正方形，可得PD⊥BC，BC⊥CD，结合线面垂直的判定定理可证BC⊥平面PCD，即可证PC⊥BC．
（2）作出经过直线AQ的平面，使两个平面平行，利用线段的比例求解即可．
（3）连接AC，取AC中点O，连接EO、GO，延长GO交AD于点M，则PA∥平面MEG，由三角形相似可得 AM=CG=$\frac{2}{3}$．

解答 解：（1）证明：∵PD⊥平面ABCD，
∴PD⊥BC，（2分）
又∵ABCD是正方形，
∴BC⊥CD，（3分）
∵PD∩CD=D，
∴BC⊥平面PCD，又∵PC?面PDC，
∴PC⊥BC．（6分）
（2）当$\frac{AQ}{QP}$=$\frac{1}{2}$时，满足AO∥平面BFQ，

证明：∵F为PD的中点，取H为DF的中点，连结OH与AH，∵O是BD的中点，∵AO∥平面BFQ，HO∥平面BQF，可得HO∥平面BQF，∴QF∥AD，
$\frac{AQ}{QP}=\frac{HF}{PF}=\frac{1}{2}$，∴$\frac{AQ}{QP}$=$\frac{1}{2}$，Q为PA的三等分点
（3）连接AC，取AC中点O，连接EO、GO，延长GO交AD于点M，则PA∥平面MEG．（8分）
证明：∵E为PC的中点，O是AC的中点，
∴EO∥平面PA，（10分）
又∵EO?平面MEG，PA?平面MEG，
∴PA∥平面MEG，（11分）
在正方形ABCD中，
∵O是AC中点，
∴△OCG≌△OAM，
∴AM=CG=$\frac{2}{3}$，
∴所求AM的长为$\frac{2}{3}$． （12分）

点评 本题主要考查线面平行与垂直关系、多面体体积计算等基础知识，考查空间想象能、逻辑思维能力、运算求解能力和探究能力、考查数形结合思想、化归与转化思想．