Question

已知拋物线y=（m-1）x²+（m-2）x-1（m∈R）．
（1）当m为何值时，拋物线与x轴有两个不同的交点？
（2）若关于x的方程（m-1）x²+（m-2）x-1=0的两个不等实根的倒数平方和不大于2，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由题意可知m≠1，且△=（m-2）²+4（m-1）＞0，解方程即可求解m的范围
（2）可设方程的两实根为x₁，x₂，结合韦达定理可得：x₁+x₂=

2-m

m-1

，x₁x₂=

1

1-m

，然后代入

1

x1

+

1

x2

=

x1+x2

x1x2

，结合已知即可求解

解答：解：（1）由题意可知m≠1，且△＞0，
即（m-2）²+4（m-1）＞0，
得m²＞0，
所以m≠1且m≠0．
（2）由（1）知△＞0，所以设方程的两实根为x₁，x₂，
由韦达定理可得：x₁+x₂=

2-m

m-1

，x₁x₂=

1

1-m

所以

1

x1

+

1

x2

=

x1+x2

x1x2

=m-2
∴

1

x12

+

1

x22

=（m-2）²+2（m-1）≤2
所以m²-2m≤0，
所以0≤m≤2．
又由（1）知m≠1且m≠0，
所以m的范围为0＜m＜1或1＜m≤2．

点评：本题主要考查了一元二次方程的根的存在与根与系数关系的应用，解题的关键是具备一定的计算及推理的能力