Question

（2009•盐城一模）袋中装有黑球和白球共7个，从中任取2个球都是白球的概率为

2

7

．现在甲、乙两人从袋中轮流摸取1球，甲先取，乙后取，然后甲再取，…，取后不放回，直到两人中有一人取到白球时即终止．每个球在每一次被取出的机会是等可能的，用ξ表示取球终止时所需要的取球次数．
（Ⅰ）求袋中原有白球的个数；
（Ⅱ）求随机变量ξ的概率分布及数学期望Eξ；
（Ⅲ）求甲取到白球的概率．

Answer 1

分析：（I）设出袋中原有n个白球，写出试验发生包含的事件数和满足条件的事件数，根据等可能事件的概率公式得到关于n的方程，解方程即可；
（II）确定ξ的可能取值，求出相应的概率，即可求出随机变量ξ的概率分布及数学期望Eξ；
（Ⅲ）甲先取，故甲只有可能在第1次和第3次取球，从而可求甲取到白球的概率．

解答：解：（I）设袋中原有n个白球，由题意知：

2

7

=

C 2 n

C 2 7

，∴n（n-1）=12
解得n=4（舍去n=-3），即袋中原有4白球；
（II）ξ的可能取值为1，2，3，4
P（ξ=1）=

4

7

，P（ξ=2）=

3×4

7×6

=

2

7

，P（ξ=3）=

3×2×4

7×6×5

=

4

35

，P（ξ=4）=

3×2×1×4

7×6×5×4

=

1

35

∴随机变量ξ的概率分布列为

ξ	1	2	3	4
P	4 7	2 7	4 35	1 35

∴Eξ=1×

4

7

+2×

2

7

+3×

4

35

+4×

1

35

=

8

5

；
（III）∵甲先取，∴甲只有可能在第1次和第3次取球，
记“甲取到白球”为事件A，P（AA）=P（ξ=1）+P（ξ=3）=

24

35

点评：本题考查概率的求解，考查随机变量的分布列与期望，考查学生的计算能力，属于中档题．