Question

设函数f（x）=-cos²x-4tsin

x

2

cos

x

2

+4t³+t²-3t+4，x∈R，其中|t|≤1，将f（x）的最小值记为g（t）．
（1）求g（t）的表达式；
（2）对于区间[-1，1]中的某个t，是否存在实数a，使得不等式g（t）≤

4a

1+a2

成立？如果存在，求出这样的a及其对应的t；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）利用三角函数转换公式化简f（x），在用配方法得出函数的最简式，即可得出函数g（x）的表达式
（2）求出g（x）的导数，画出表格判断函数的单调性即可求出函数的最值，g（t）≤

4a

1+a2

成立，即

4a

1+a2

≥g（t）的最大值，求出a的范围．

解答：解：（1）f(x)=-cos2x-4tsin

x

2

cos

x

2

+4t3+t2-3t+4=sin²x-1-2tsinx+4t³+t²-3t+4=sin²x-2tsinx+t²+4t³-3t+3=（sinx-t）²+4t³-3t+3．
由（sinx-t）2≥0，|t|≤1，故当sinx=t时，f（x）有最小值g（t），即
g（t）=4t3-3t+3．
（2）我们有g'（t）=12t²-3=3（2t+1）（2t-1），-1＜t＜1．
列表如下：

t	（-1，- 1 2 ）	- 1 2	（- 1 2 ， 1 2 ）	1 2	（ 1 2 ，1）
g'（t）	+	0	-	0	+
G（t）	↗	极大值g（- 1 2 ）	↘	极小值g（ 1 2 ）	↗

由此可见，g（t）在区间（-1，-

1

2

）和（

1

2

，1）单调增加，在区间（-

1

2

，

1

2

）单调减小，极小值为g（

1

2

）=2，
又g（-1）=-4-（-3）+3=2
故g（t）在[-1，1]上的最小值为2
注意到：对任意的实数a，

4a

1+a2

=

4

a+ 1 a

∈[-2，2]
当且仅当a=1时，

4a

1+a2

=2，对应的t=-1或

1

2

，
故当t=-1或

1

2

时，这样的a存在，且a=1，使得g（t）≥

4a

1+a2

成立．
而当t∈（-1，1]且t≠

1

2

时，这样的a不存在．

点评：该题考查函数的求导，以及利用函数的导数判断函数的单调性进而求出函数的最值，还考查了三角函数的公式的利用，以及恒成立问题．